孫小春:《數學分析》教學之我所思

《數學分析》是數學專業最重要的基礎課,它對后繼課程與近代數學的學習與研究起著至關重要的作用,對于學生數學思維觀念和數學技能的養成具有不可替代的地位。這門課程學習時間跨度大,概念、符號具有高度的抽象性,定義嚴格,理論推導具有嚴密的邏輯性,應用廣泛、內容極為豐富。正因為如此,本門課程的學習不僅僅是掌握一種工具,更重要的是養成一種思維模式;不僅僅是一門學科知識的學習,更是一種文化的傳承和素質的培養;其課堂教學更是一種體現理性與人文精神和諧發展的實踐活動。《數學分析》教學效果的好壞,將直接影響到數學專業教育的成敗,甚至可能影響學生一生的思維方式與生活態度。因此,根據學生實際情況,積極開發教學資源,按照課程標準來實施教學,對于提高我校數學專業本科學生的素質及培養具有“人文情懷、創新精神、實踐能力、國際視野、社會特色”和符合時代要求的高素質人才有著深遠的意義。也正因為如此,在具體的教學實踐活動中,我一直努力做到以下幾點:

一、緊扣課程特色,培養學生嚴謹的數學思維能力

廣義地說,數學分析是實數分析、應用極限工具來研究的實值序列分析和級數的分析以及實值函數分析。狹義地說,數學分析就是微積分。目前,學生在高中階段就已經掌握了一定的微積分知識,而其他專業的高等數學課程中也介紹了微積分知識,但事實上,微積分只是人們用以處理函數的那些計算規則的匯集,而數學分析則是微積分的理論基礎。高等數學對于其他專業來說,基本上是一個工具課程,而數學分析則要比它完整和深刻得多,數學分析要講清楚數學和微積分中的各種思想和方法,解釋眾多數學上和微積分中的為什么,使得學生知道什么時候運算法則適用、什么時候不適用,從而把法則的有益應用與可能犯的錯誤隔離開來。因此,數學分析課程有著更為嚴密的邏輯體系,而在數學中,邏輯就是我們的空氣,呼吸則需要依靠縝密的推理,所以絕對不能因為會用工具或者知道結論就沾沾自喜,忘記了呼吸。在課堂教學中,本人也多次給學生強調,能計算出結果并不意味著結束,要知道推導過程的來龍去脈和緣由才行,每一步推導和計算都要問問自己為什么可以這樣做,其得以施行的支撐定理條件是否都滿足等等,LHospital法則雖然用起來都得心應手,交換各種運算次序可能很快就能得到計算結果……但這些計算法則的運用條件是否都能驗證通過,使學生養成嚴謹的數學思維能力、形成良好的數學素養,使學生練就扎實的數學基本功,為以后進一步從事科學研究工作打下良好的基礎。

二、鼓勵大膽嘗試和創新,著重培養學生的研究與創新能力

數學分析之所以是數學專業的基礎課,原因之一是本科階段的眾多分析課程,其研究結構基本與數學分析課程相似。例如,復變函數課程的第一部分仍是研究復值函數的連續性、解析性、復積分及復級數理論,因此,在數學分析課程上鼓勵學生進行大膽的知識擴展和嘗試,有意識地培養學生的動手能力和研究能力,樹立學生的科研自信心,也為學生和老師的交流互動提供平臺支持,例如:學習完 Riemann積分概念之后,讓學生自己查找資料,仿 照 定 積 分 的 知 識 結 構 學 習 研 究 Hen-stock-Kurzweil積 分 、Gauge 積 分 、Denjoy 積分 ,Lusin積分、Perron積分等概念內容,這樣做不但擴展了學生的知識結構,同時學生對學習 Riemann積分的知識進行了有益的加深和復習。學習含參量無窮限反常積分一致收斂性內容后,讓學生自行研究含參量無界函數反常積分,寫出同課本內容相似的課程小論文;學習函數項級數時,提出 Cesaro求和和 Abel求和的概念,讓學生研究與之對應的各種級數收斂性等等。這樣,從數學分析學習開始就培養學生的科研意識與動手能力,為學生進行學年論文與畢業論文的撰寫工作打下基礎,進一步激發學生從事科學研究的濃厚興趣。

三、關注學科前沿動態,力求教學內容近代化

在介紹數學分析經典內容的同時,將近代數學中許多重要概念、理論恰到好處地引進數學分析課堂教學中。例如,在多元函數部分,詳細討論了中的拓撲及相應的開集、閉集、聚點等概念,描述了中集合的緊致性、連通性、可數性等拓撲不變性,使學生站在拓撲的高度來理解連續性等。在含參積分部分,引進卷積運算、映射等等,這樣不僅使課堂教學近代化,還為學生在高年級學習實變函數、拓撲、泛函分析等課程提供了一個實際模型并做了很好的基礎鋪墊,為經典分析理論與現代分析架設了一座橋梁。

四、利用現代化教學手段,增設數學實驗課,培養學生的信息化應用能力

在數學分析課堂教學中,堅持每周一次的課程討論班,每章一次的數學習題課,每月一次的數學實驗課,充分利用多媒體技術等現代化教學手段,使學生將所學知識內容更為形象的理解和貫通。在數學實驗課上,介紹 M atlabM aple等數學軟件,讓學生學習利用這些數學軟件解決一些數學實際問題,提高學生的學習積極性與能動性。在課堂之外,搭建 Q Q 學習群 (346577390) 與課程網站(www.mathclub-nwnu.com),一方面,將優質教學資源與學生一起分享,讓學生課下自助學習,讓有限的課堂教學得以擴展,使學生能夠隨時隨地的學習,提高學習能動性;另一方面,這樣可以滿足不同學生的個性化需求,不同學習能力的學生可以根據自己的學習情況,自主安排學習進度,從而提高其學習效率。學生可以利用教學網站、教學 Q Q 群及時進行教學反饋,老師可以在網站上布置作業、課程論文,讓學生在網站登陸上傳電子作業,達到隨時溝通的目的。另外,我們嘗試使用對分課堂教學方法,讓學生真正自己動起來,布置“亮考幫”教學作業,然后在課堂上組織學生討論、交流。不僅活躍了教學氣氛,也較好地達到了令學生知其所以然的教學目標,從而完成教學任務。

五、提高自身修養,探尋培養學生數學人文精神的新方法

數學家克萊因說: “數學是人類最高超的智力成就,也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧,科學可改善物質生活,但數學能給予以上的一切。”的確,數學是一門獨特的科學,數學對于人們的觀念、精神以及思維方式的養成有著重要的影響。數學課程不僅具有重要的科學價值,同時還具有豐富的人文價值。數學知識所具有的德育價值、心理價值和文化價值等內涵,是數學課程及其教學不可缺少的重要內容,是數學素質教育內在的必然要求。

首先,作為一名數學教師,要有敬業的精神。教師只有對教育事業的熱愛和執著追求,才會以情動人、以情育人。如果老師在課堂教學中對學生、對教學投入情感,其一言一行、一顰一笑也都會給學生強烈的感染和鼓舞。其次,教學本身也是一門藝術,教學活動中要引導學生養成追求真理、追求完美的學習習慣。數學分析證明很多,但正如保羅·洛克哈特所說: “一個證明就是一個故事,問題的要素扮演其中的角色,而故事的情節則完全取決于你。與任何虛構文學作品一樣,我們的目標是寫出一個引人入勝的故事。就數學而言,這意味著情節不僅要合乎邏輯,同時也要簡單優美。”再者,數學分析的部分習題確實有些難度,通過數學分析的學習,學生養成正確的學習態度和頑強的攻堅拼搏精神;要擺脫以往學習方式易于形成的為考試而學的痼疾,做學習的主人,學會和他人合作,造就堅忍不拔的意志品質。

(編輯/王文霞)


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